嗨，歡迎來到「統計急診室」，我是你的統計救星。
今天，我們要來拆解一個在學術研究、商業分析甚至日常決策中都超級有用的統計工具：「相依樣本 t 檢定」（Paired Sample t-test）。
你是不是一聽到「統計」和「檢定」就頭皮發麻，覺得自己回到了被數學課本支配的恐懼中？別擔心！這篇文章的使命，就是帶你從「完全聽不懂」到「可以教別人」。
我們將會用一種「深入淺出」的極致方式來學習。我會先用一個連國小小朋友都能聽懂的故事開始，建立你最核心的「直覺」；然後，我們再慢慢穿上統計學的「專業裝備」，一步步探索它的原理、計算、假設，甚至是如何在軟體中操作。
這是一篇終極指南。是的，你沒看錯。我保證，只要你跟著我的思路走，讀完這篇，你對「相依樣本 t 檢定」的理解將會超越 90% 的人。
準備好了嗎？泡杯咖啡，讓我們開始這趟旅程！
Part 1：【超簡單版】給國小學生的「神奇長高藥水」故事
我們先忘掉所有複雜的名詞。
想像一下，你是一位超厲害的科學家，你剛剛在實驗室裡發明了一種閃閃發光的「超級長高藥水」。
你超興奮的！你覺得這個發明可以讓你得諾貝爾獎！
但是，身為一個負責任的科學家，你不能「你覺得」有用就有用。你必須證明它。
你該怎麼辦呢？
你的實驗計畫
你決定找 10 個好朋友來幫忙測試。（就叫他們 A、B、C...J 同學）
- 第一步：『之前』
在大家喝藥水之前，你拿出尺，非常非常仔細地量了 A、B、C...J 這 10 個朋友的身高，然後把數字一個一個工整地寫在你的筆記本上。- A 同學：150 公分
- B 同學：145 公分
- C 同學：160 公分
- ...（以此類推）
- 第二步：『喝藥水』
你給大家一人一瓶「超級長高藥水」，然後說：「乾杯！喝下去！」 - 第三步：『之後』
大家回家，過了一個月...
你把同一批 10 個朋友（還是 A、B、C...J）全部找回來。你拿出同一把尺，用同樣的方法，再把他們 10 個人的身高量一遍，記在筆記本上。
你怎麼知道「有沒有用」？
現在，你的筆記本上有兩排數字：「喝之前的身高」和「喝之後的身高」。
你開始思考，我要怎麼「比較」？
你不會笨到把「A 喝之前的身高」拿去跟「B 喝之後的身高」比，對吧？那沒意義。
你最想知道的，是每個人自己「改變了多少」。
於是，你開始在筆記本上畫第三欄，叫做「改變的量」：
- A 同學：(喝之後 152 公分) - (喝之前 150 公分) = 長高了 2 公分
- B 同學：(喝之後 146 公分) - (喝之前 145 公分) = 長高了 1 公分
- C 同學：(喝之後 160.5 公分) - (喝之前 160 公分) = 長高了 0.5 公分
- ...
- J 同學：(喝之後 155 公分) - (喝之前 155 公分) = 長高了 0 公分（可憐的 J）
你把這 10 個「改變的量」全部算出來了。
真正的問題：這只是「運氣好」嗎？
你把這 10 個「改變的量」全部加起來，除以 10，得到了「平均改變量」。
假設，你算出來的「平均改變量」是長高 1.5 公分。
這時候，你心裡一定會冒出兩個小惡魔在打架：
- 興奮的你：「哇！1.5 公分！我的藥水真的有用！我要發財了！我要得諾貝爾獎了！」
- 懷疑的你：「...等等。會不會只是『運氣好』啊？」
「懷疑的你」說的很有道理。
- ...會不會 C 同學只是剛好這個月睡得比較好，才長高 0.5 公分？
- ...會不會 J 同學根本沒變，代表藥水沒用？
- ...會不會 A 同學長高 2 公分，根本跟藥水無關，他就算不喝也會長高？
你怎麼知道這個「平均長高 1.5 公分」，是一個「真的」效果，而不是「純屬巧合」或「運氣爆棚」？
「相依樣本 t 檢定」，就是那個「超級裁判」！
它就是一個數學工具，專門用來幫你回答這個問題：
「你算出來的這個『平均改變量』，到底是真的有用，還是只是運氣好？」
- 如果 t 檢定告訴你：「P 值 < 0.05」（你之後會學到），意思就是：「這不是運氣！你的藥水真的有用！」
- 如果 t 檢定告訴你：「P 值 > 0.05」，意思就是：「這很可能是運氣！你算出的 1.5 公分沒什麼了不起，很可能只是巧合，你的藥水大概沒效。」
「國小版」總結
- 主角： 相依樣本 t 檢定。
- 目的： 看「同一群人」，在「做一件事之前」和「做一件事之後」，他們身上的數字（身高、體重、成績）有沒有「真的改變」。
- 關鍵字： 「相依」=「相關的」，因為「之前的你」和「之後的你」是同一個人，這兩筆資料是綁在一起的。
- 功能： 幫你判斷這個「改變」是真的有效，還是純屬巧合。
Part 2：【正常版】深入理解「相依樣本 t 檢定」
好，故事說完了。讓我們把「神奇藥水」收起來，戴上學術的眼鏡。
我們剛剛用「長高藥水」故事所描述的整個邏輯，就是「相依樣本 t 檢定」的核心。
什麼是「相依樣本 t 檢定」（Paired Sample t-test）？
相依樣本 t 檢定（也常被稱為 Paired t-test 或 Dependent t-test）是一種「推論統計」方法。
它的核心目的是：用來檢驗「單一組」受試者（或緊密配對的兩組）的兩筆「相依」的連續變項，其「平均數」是否存在統計上的顯著差異。
...我知道，這句話聽起來很饒口。我們來拆解它：
- 「單一組」受試者： 就像故事中的 10 個小朋友。
- 「兩筆相依的變項」： 就像「喝藥前的身高」和「喝藥後的身高」。它們是「相依」的，因為它們都來自同一個小朋友。
- 「平均數」： 我們關心的是「平均身高」有沒有改變。
- 「是否存在顯著差異」： 我們想知道這個改變是「真的」，還是「巧合」。
你什麼時候「必須」使用它？
這是最關鍵的問題。你必須在你的「資料結構」符合以下情境時，才能使用這個檢定：
情境一：重複測量（Repeated Measures）
這是最常見的，也就是我們故事中的「前測-後測」（Pre-Post）設計。
- 範例 1（教育）： 一班學生在接受「新教學法」之前的英文成績 vs. 接受教學之後的英文成績。
- 範例 2（醫療）： 20 位高血壓病患在服用「新藥」之前的收縮壓 vs. 服用之後的收縮壓。
- 範例 3（心理）： 一群人在接受「正念冥想」訓練之前的焦慮分數 vs. 訓練之後的焦慮分數。
- 範例 4（行銷）： 50 位消費者在看廣告前對 A 品牌的好感度 vs. 看廣告後對 A 品牌的好感度。
情境二：配對樣本（Matched Pairs）
有時候，你的受試者不是「同一個人」，而是「天生一對」或「被人為配對」的兩個人。
- 範例 1（天生一對）： 研究 30 對夫妻，比較「丈夫」的年收入和「妻子」的年收入。
- 範例 2（基因配對）： 研究 20 對同卵雙胞胎，其中一個（隨機）吃 A 飼料，另一個吃 B 飼料，比較他們的體重。
- 範例 3（人為配對）： 研究 A、B 兩種工廠作業流程。你找了 100 個工人，但你知道「年資」會影響效率。於是你找出「年資 1 年」的 A、B 兩人配對，「年資 10 年」的 C、D 兩人配對...然後一組用 A 流程、一組用 B 流程，比較他們的生產力。
情境三：兩種不同情境（Within-Subjects Design）
對「同一群」人，測量他們在「兩種不同情況下」的反應。
- 範例： 讓 15 個人「戴著耳塞」（情境 A）和「聽著吵雜音樂」（情境 B）的情況下，分別完成同一個拼圖，比較他們花費的時間。
為什麼不直接用「獨立樣本 t 檢定」？
新手最常問：「我手上有『之前』和『之後』兩組數據，為什麼我不能用『獨立樣本 t 檢定』（Independent Sample t-test）來跑就好？」
答案是：絕對不行！而且你損失大了！
「獨立樣本 t 檢定」是「相依樣本 t 檢定」的兄弟，它是用來比較「兩組完全不相干的人」。
- 例如：比較「A 班（用新教法）」和「B 班（用舊教法）」的期末成績。
- A 班的小明和 B 班的小華是獨立的。
為什麼不行？
- 違反假設： 「獨立樣本 t 檢定」的大前提就是兩組樣本「互相獨立」。但「喝藥前的你」和「喝藥後的你」根本不是獨立的，你還是你啊！
- 損失檢定力（Power）： 這是最關鍵的。使用「相依樣本 t 檢定」威力更強大！
為什麼「相依」威力更強大？
讓我們回到「長高藥水」的例子。
假設 B 同學（145 公分）和 C 同學（160 公分）都長高了 1 公分。
- B 同學：145 -> 146（長高 1）
- C 同學：160 -> 161（長高 1）
如果你用「獨立 t 檢定」，它會看到什麼？
它會看到一組「之前」的數據（145, 160...）和一組「之後」的數據（146, 161...）。它會發現「之前」這組數據本身就差很多（145 vs 160，差了 15 公分！），它會認為這組數據的「變異（Noise）」超級大。
在統計學上，「變異（雜訊）」是「效果（訊號）」的敵人。
當「雜訊」太大，你那個 1 公分的「訊號」就很容易被淹沒。獨立 t 檢定會跟你說：「我看不到什麼明顯的效果，因為你這兩組人本來就亂七八糟的。」
但「相依 t 檢定」會看到什麼？
它會先做「(之後) - (之前)」這個動作。
- B 同學的改變： +1
- C 同學的改變： +1
「相依 t 檢定」會看到一組「改變量」的數據（+2, +1, +0.5, ... , 0）。
它完全無視 B 同學本來是 145 還是 160 公分！它只在乎 B 同學「自己跟自己比」改變了多少。
這就是「相依樣本 t 檢定」最偉大的地方：它「消除」了每個受試者之間「天生的差異」。
它把「A 同學天生就高」、「B 同學天生就矮」這種「個體差異」的雜訊全部過濾掉了。它只專注在「藥水（或教學法）本身」所帶來的改變。
這使得它在偵測「微小但真實」的改變時，比「獨立樣本 t 檢定」靈敏 100 倍！
Part 3：【核心原理】t 檢定到底是如何運作的？
好，我們已經知道「為什麼」要用它。現在，我們要來拆解「它怎麼算」。
如果你是文科生，別怕。我保證用「國小版」的邏輯帶你走一遍。
核心思想：把「兩個問題」變成「一個問題」
相依樣本 t 檢定的天才之處，就在於它根本不是在比較「兩組」數據。
它透過一個簡單的減法，把「比較兩組（之前 vs. 之後）」這個複雜問題，降維成「檢驗一組（改變量）」這個簡單問題。
步驟一：計算「差異分數」（Difference Scores, $D$）
這就是我們在「國小版」做的事。
$D = X_{之後} - X_{之前}$ （或 $X_2 - X_1$）
| 受試者 | $X_{之前}$ (Before) | $X_{之後}$ (After) | $D$ (差異分數) |
|---|---|---|---|
| A | 150 | 152 | +2 |
| B | 145 | 146 | +1 |
| C | 160 | 160.5 | +0.5 |
| D | 155 | 155 | 0 |
| ... | ... | ... | ... |
| J | 148 | 149 | +1 |
步驟二：把「之前」和「之後」兩欄忘掉！
是的，你沒看錯。一旦你算出了 $D$ 這一欄，你就再也不需要前面那兩欄了。
你所有的分析，都將只針對 $D$ 這一欄（+2, +1, +0.5, 0, ..., +1）來進行。
步驟三：問題轉換
原本的問題是：「『之前』的平均數 $\mu_1$」和「『之後』的平均數 $\mu_2$」是否相等？
現在，新問題變成：
「『差異分數 $D$』這一欄，它的總體平均數 $\mu_D$ 是不是 0 ？」
- 如果 $\mu_D = 0$：代表（之後 - 之前）= 0，也就是「之後 = 之前」。→ 藥水沒效。
- 如果 $\mu_D \neq 0$：代表（之後 - 之前） $\neq$ 0。→ 藥水有效。
你看！這不就變成了一個「單樣本 t 檢定」（One-Sample t-test）嗎！
我們只是想知道 $D$ 這一欄的平均數，是不是 0 而已！
計學的「儀式」：建立假說
在我們計算之前，要先擺好「儀式」，也就是建立「虛無假說」和「對立假說」。
- 虛無假說 $H_0$（Null Hypothesis）：
- 統計語言：$\mu_D = 0$
- 白話文：沒效。藥水是騙人的。那個 1.5 公分的平均差異只是運氣。總體（所有人）的平均改變量根本就是 0。
- 對立假說 $H_1$（Alternative Hypothesis）：
- 統計語言：$\mu_D \neq 0$ （這叫「雙尾檢定」，最常用）
- 白話文：有效！藥水真的有用！總體的平均改變量絕對不是 0。
（進階註：如果你「非常確定」藥水只會讓人長高，不會讓人變矮，你可以用「單尾檢定」 $H_1: \mu_D > 0$。這會讓檢定力更強一點，但你必須有很強的理論支持。）
最終的「t 統計量」公式
t 檢定的核心，就是要算出一個數字，叫做「t 值」（t-statistic）。
這個 t 值，你可以把它想像成一個「訊號 / 雜訊」的分數。
$t = \frac{\text{訊號 (Signal)}}{\text{雜訊 (Noise)}}$
在「相依樣本 t 檢定」中，這個公式長這樣：
$t = \frac{\bar{D} - \mu_D}{\frac{s_D}{\sqrt{n}}}$
別怕，我們把它翻譯成白話文：
- 分子（訊號）：$\bar{D} - \mu_D$
- $\bar{D}$ 是你算出來的「樣本平均差異」（例如：+1.5 公分）。
- $\mu_D$ 是你虛無假說（$H_0$）的「總體平均差異」（我們假設它是 0）。
- 所以，分子其實就是 $\bar{D} - 0$，也就是 $\bar{D}$。
- 白話： 你在樣本中觀測到的「平均效果」有多大？（1.5 公分）
- 分母（雜訊）：$\frac{s_D}{\sqrt{n}}$
- 這整坨東西，有個名字，叫做「平均差異的標準誤」（Standard Error of the Mean Difference）。
- $n$ 是你的「樣本數」（例如：10 個小朋友）。
- $s_D$ 是「差異分數 $D$ 的標準差」（Standard Deviation of D）。
- $s_D$ 是什麼？ 它代表你的受試者反應的「一致性」。
- 如果 $s_D$ 很小：代表大家（A, B, C...）長高的量都「差不多」（例如：1.4, 1.5, 1.6 公分）。這代表你的藥水效果很穩定，雜訊很低。
- 如果 $s_D$ 很大：代表大家長高的量「差很多」（例如：A 長高 10, B 矮了 7, C 長高 2）。這代表藥水效果很不穩定，雜訊很高。
- 白話： 你的實驗結果「有多混亂」或「有多不一致」？
所以，t 值到底在算什麼？
$t = \frac{\text{你觀測到的平均效果 (例如 +1.5 公分)}}{\text{這個效果的「不穩定/混亂」程度}}$
- 如果 t 值很大：代表你的「訊號」遠遠大於「雜訊」。（例如：$1.5 / 0.1 = 15$）。你的數據非常乾淨，效果非常明顯。
- 如果 t 值很小：代表你的「訊號」快被「雜訊」淹沒了。（例如：$1.5 / 2.0 = 0.75$）。你的數據非常混亂，這個 1.5 公分可能只是運氣。
拿到 t 值後，然後呢？（p 值）
你算出 t 值（例如 t = 3.5）之後，統計學家會做最後一步：查表（現在都用電腦）。
他們會去查一個叫做「t 分布」的圖。
然後，他們會看：「在『藥水根本沒效』（$H_0$ 為真）的世界裡，你還能靠運氣拿到 t = 3.5 這麼極端（這麼大）的分數，機率有多高？」
這個「機率」，就是鼎鼎大名的「p 值」（p-value）。
- p 值很小（例如 p = 0.001）：
- 翻譯： 「如果藥水沒效，你想靠運氣拿到 t=3.5 這麼好的成績，機率只有 0.1%。」
- 結論： 「你太看得起運氣了！我不相信這是運氣。我拒絕『藥水沒效』的說法。」
- 統計術語： 拒絕虛無假說 $H_0$。結果「顯著」。
- p 值很大（例如 p = 0.450）：
- 翻譯： 「如果藥水沒效，你想靠運氣拿到 t=0.8 這種成績，機率高達 45%。」
- 結論： 「這根本超常發生的。你這數據完全可能是運氣。我無法拒絕『藥水沒效』的說法。」
- 統計術語： 無法拒絕虛無假說 $H_0$。結果「不顯著」。
那條「線」在哪裡？
科學家們約定俗成，把「判斷的標準線」設在 5%（也就是 0.05）。這個標準線叫做「顯著水準 $\alpha$」。
- p < 0.05： 判為「顯著」（太不可能發生了，我拒絕 $H_0$）。
- p > 0.05： 判為「不顯著」（很有可能只是運氣，我保留 $H_0$）。
Part 4：【實戰演練】我們來手算一個例子！
光說不練假把戲。我們來用一個真實（我編的）數據，從頭到尾手算一次。
情境： 一家公司舉辦了「正念冥想 8 週」課程，他們想知道這對員工的「工作焦慮感」有沒有幫助。
他們找了 10 位員工，在課程（Before）和課程後（After），分別用一份「焦慮量表」（分數 1-100，越高越焦慮）進行評估。
數據如下：
| 員工 | 焦慮 (Before) | 焦慮 (After) |
|---|---|---|
| 1 | 85 | 75 |
| 2 | 90 | 82 |
| 3 | 70 | 65 |
| 4 | 75 | 70 |
| 5 | 80 | 78 |
| 6 | 95 | 85 |
| 7 | 88 | 80 |
| 8 | 65 | 60 |
| 9 | 78 | 75 |
| 10 | 92 | 88 |
我們要檢驗： 冥想課程是否顯著降低了員工的焦慮分數？（我們使用 $\alpha = 0.05$）
步驟一：建立假說
- $H_0$: $\mu_D = 0$ （冥想課程沒效，焦慮分數的改變平均為 0）
- $H_1$: $\mu_D \neq 0$ （冥想課程有效，焦慮分數的改變平均不是 0）
（註： 這裡我們用雙尾檢定。如果我們非常篤定只想知道「有沒有降低」，可以用 $H_1: \mu_D > 0$，因為我們的 D 是 Before - After）
步驟二：計算差異分數 $D$
我們定義 $D = \text{Before} - \text{After}$ （這樣「降低」就會是正數，比較直觀）
| 員工 | 焦慮 (Before) | 焦慮 (After) | $D$ (差異分數) |
|---|---|---|---|
| 1 | 85 | 75 | +10 |
| 2 | 90 | 82 | +8 |
| 3 | 70 | 65 | +5 |
| 4 | 75 | 70 | +5 |
| 5 | 80 | 78 | +2 |
| 6 | 95 | 85 | +10 |
| 7 | 88 | 80 | +8 |
| 8 | 65 | 60 | +5 |
| 9 | 78 | 75 | +3 |
| 10 | 92 | 88 | +4 |
步驟三：計算 $D$ 欄位的「平均數」與「標準差」
1. 樣本數 (n)：
$n = 10$
2. 差異平均數 ($\bar{D}$)：
$\bar{D} = \frac{10 + 8 + 5 + 5 + 2 + 10 + 8 + 5 + 3 + 4}{10}$
$\bar{D} = \frac{60}{10} = \mathbf{6.0}$
（解讀： 在我們的樣本中，焦慮分數平均降低了 6 分。這就是我們的「訊號」。）
3. 差異標準差 ($s_D$)：
（警告：數學計算開始）
標準差公式：$s_D = \sqrt{\frac{\sum (D_i - \bar{D})^2}{n-1}}$
- 先算 $D_i - \bar{D}$（每個 D 減掉平均 6）：
(10-6)=4, (8-6)=2, (5-6)=-1, (5-6)=-1, (2-6)=-4, (10-6)=4, (8-6)=2, (5-6)=-1, (3-6)=-3, (4-6)=-2 - 再算平方 $\sum (D_i - \bar{D})^2$：
$16 + 4 + 1 + 1 + 16 + 16 + 4 + 1 + 9 + 4 = 72$ - 除以 $n-1$（$10-1=9$），這叫做「變異數」（Variance）：
$s_D^2 = \frac{72}{9} = 8$ - 開根號，得到標準差 $s_D$：
$s_D = \sqrt{8} \approx \mathbf{2.828}$
（解讀： 焦慮分數的「降低量」的變異程度是 2.828 分。這就是我們的「雜訊」。）
步驟四：計算 t 統計量
公式：$ t = \frac{\bar{D} - 0}{\frac{s_D}{\sqrt{n}}} $
- $n = 10$
- $\bar{D} = 6.0$
- $s_D = 2.828$
1. 先算分母（標準誤 $SE_D$）：
$SE_D = \frac{s_D}{\sqrt{n}} = \frac{2.828}{\sqrt{10}} = \frac{2.828}{3.162} \approx \mathbf{0.894}$
2. 再算 t 值：
$t = \frac{\bar{D}}{SE_D} = \frac{6.0}{0.894} \approx \mathbf{6.71}$
（解讀： 我們的 t 值高達 6.71！這代表我們的「訊號」（平均降低 6 分）是「雜訊」（標準誤 0.894）的 6.7 倍！這聽起來...非常顯著！）
步驟五：查表，找出 p 值並下結論
1. 自由度（Degrees of Freedom, df）：
$df = n - 1 = 10 - 1 = 9$
2. 找出 t 臨界值（或直接查 p 值）：
我們拿著 $t = 6.71$ 和 $df = 9$ 去查「t 分布表」（或用軟體）。
我幫你查了：
對於 $df = 9$，雙尾檢定 $\alpha = 0.05$ 的「t 臨界值」是 $\pm 2.262$。
- 意思是： 你的 t 值只要大於 2.262 或小於 -2.262，p 值就會小於 0.05。
3. 比較：
- 我們算出的 t 值 = 6.71
- 臨界值 = 2.262
- 6.71 遠遠大於 2.262。
4. 找出精確 p 值：
我用軟體（Excel 的 T.DIST.2T(6.71, 9)）算出的精確 p 值是：
p = 0.00013
步驟六：撰寫結論（APA 格式）
這是在論文中你必須寫的「標準答案」。
「我們使用相依樣本 t 檢定，來檢驗 10 位員工在參加正念冥想課程前後的焦慮分數。 結果顯示，課程之後的焦慮分數（$M = 74.8, SD = 8.64$）顯著低於課程之前的焦慮分數（$M = 80.8, SD = 9.91$）。 此差異在統計上達到顯著水準，$t(9) = 6.71, p < .001$。」
（註：M 是平均數，SD 是標準差，t(9) 的 9 是自由度）
白話文結論：
「有效！ 我們的研究發現，這個冥想課程真的能顯著降低員工的焦慮感。這個結果不是運氣！」
Part 5：【進階討論】魔鬼藏在細節裡
恭喜你！你已經學會了 90% 的核心知識。
但是，統計學家是「嚴謹」的（龜毛的）。使用 t 檢定，你必須先檢查你的數據是否滿足了「基本假設」（Assumptions）。
如果你不滿足這些假設，你算出來的 t 值和 p 值可能是錯的！
相依樣本 t 檢定的三大假設
假設一：依變項（你量的東西）必須是「連續變項」
- 白話： 你量的東西必須是「數字」，而不是「類別」。
- 可以： 身高（公分）、體重（公斤）、焦慮分數（1-100）、反應時間（毫秒）。
- 不行： 喜歡的顏色（紅、藍、綠）、教育程度（國小、國中、高中）。
- 檢查： 這個在實驗設計時就要想好，通常不會錯。
假設二：樣本必須是「相依」或「配對」的
- 白話： 「之前」和「之後」的數據必須能「一對一」兜起來。
- 檢查： 這也是實驗設計的一部分。你不能拿「A 班的 30 人」和「B 班的 30 人」跑相依樣本 t 檢定。
假設三（最重要）： 「差異分數 $D$」必須呈現「常態分佈」
- 注意！注意！注意！
- 這是一個天大的誤區！
- 相依樣本 t 檢定並不在乎「之前」的數據（$X_1$）是否常態，也不在乎「之後」的數據（$X_2$）是否常態。
- 它只在乎你算出來的那一欄「差異分數 $D$」是不是常態分佈！
如何檢查「差異 $D$」是否常態？
- 目測法： 畫「直方圖」（Histogram）或「Q-Q 圖」（Q-Q Plot），看看它長得像不像「鐘形」。
- 統計檢定：
- Shapiro-Wilk 檢定（小樣本 < 50 人時，最推薦）。
- Kolmogorov-Smirnov (K-S) 檢定（大樣本時）。
- 這兩種檢定的 $H_0$ 是「數據是常態」。所以你不希望它們顯著！（你希望 p > 0.05）
如果「差異 $D$」不常態，怎麼辦？
這時，你就不能使用「相依樣本 t 檢定」。你必須改用它的「無母數（Non-parametric）」版本。
- 替代方案：Wilcoxon 符號等級檢定（Wilcoxon Signed-Rank Test）
- 優點： 它完全不需要常態假設。
- 原理： 它不是用「原始分數」去算，而是把「差異 $D$」拿去「排序」（Rank），然後看「正的排名總和」和「負的排名總和」是否差很多。
- 缺點： 檢定力通常比 t 檢定稍弱一點（如果數據是常態，t 檢定更靈敏）。
一個重要的「但是」：t 檢定的「強健性」（Robustness）
- 根據「中央極限定理」（Central Limit Theorem）：
- 如果你的樣本數 $n$ 夠大（例如 $n > 30$ 或 $n > 40$）...
- ...那麼，就算你的「差異 $D$」長得不太常態（例如有點歪斜），你算出來的 t 檢定結果通常還是可信的。
- 結論：
- $n < 30$：務必檢查常態性。不常態就用 Wilcoxon。
- $n > 30$：可以稍微放寬心，t 檢定通常很「強健」。
報告結果時，光有 p 值是不夠的
你剛剛在 Part 4 學會了報告 $t(9) = 6.71, p < .001$。
但現代統計學認為，這還不夠。p 值只告訴你「有沒有效」（Yes/No），但它沒告訴你「效果有多強」。
在我們的「焦慮」例子中，p < .001 當然很好，但「平均降低 6 分」...
- ...到底是很厲害，還是還好？
- 如果總分是 1000 分，降低 6 分根本沒屁用。
- 如果總分是 10 分，降低 6 分簡直是奇蹟。
（我們的例子是 100 分量表，降低 6 分，感覺還不錯！）
你需要提供兩個「p 值的好兄弟」：
1. 效果量（Effect Size）：Cohen's $d_z$
- 功能： 衡量這個「改變」的實際重要性或強度。
- 公式： $d_z = \frac{|\bar{D}|}{s_D}$ （註：是 $s_D$，不是 $SE_D$）
- 我們例子：
- $\bar{D} = 6.0$
- $s_D = 2.828$
- $d_z = \frac{6.0}{2.828} \approx \mathbf{2.12}$
- 判斷標準（Cohen's rule of thumb）：
- $d \approx 0.2$：小效果
- $d \approx 0.5$：中效果
- $d \approx 0.8$：大效果
- 結論： 我們的 $d_z = 2.12$！這是一個超級大的效果量！代表冥想課程的效果非常非常強烈。
2. 信賴區間（Confidence Interval, CI）
- 功能： p 值告訴你 $\mu_D$ 是不是 0。CI 告訴你 $\mu_D$ 最可能落在哪個範圍。
- 公式： $\bar{D} \pm (t_{\text{critical}} \times SE_D)$
- 我們例子：
- $\bar{D} = 6.0$
- $SE_D = 0.894$
- $t_{\text{critical}}$ for 95% CI, df=9 是 $2.262$
- 下限： $6.0 - (2.262 \times 0.894) = 6.0 - 2.02 = 3.98$
- 上限： $6.0 + (2.262 \times 0.894) = 6.0 + 2.02 = 8.02$
- 結論：
- 「95% 信賴區間（CI）= [3.98, 8.02]」
- 白話： 雖然我們樣本的平均改變是 6 分，但我們可以 95% 肯定，真正的（總體的）平均改變量，是落在「降低 3.98 分」到「降低 8.02 分」之間。
- 重點： 你發現了嗎？這個區間 [3.98, 8.02] 並不包含「0」！
- 這就再次證明了我們的 $H_0$（$\mu_D = 0$）是錯的。這就是 CI 和 p 值的完美連結！
一份「專業」的結論報告（最終版）：
「相依樣本 t 檢定顯示，冥想課程顯著降低了員工的焦慮分數，$t(9) = 6.71, p < .001$。平均降低分數為 6.0 分（95% CI [3.98, 8.02]），且效果量非常大（Cohen's $d_z = 2.12$）。」
（完美！這份報告無懈可擊！）
Part 6：【軟體操作】不要再手算了！
你學會手算，是為了「理解」原理。
你在實戰中，是為了「效率」。
沒有人真的在論文中手算 t 檢定。你只需要把數據餵給軟體，3 秒鐘，所有答案（t, df, p, CI, d）全部給你。
情境一：如果你只有 Excel
Excel 也可以做！有兩種方法。
方法 A：T.TEST 函數
=T.TEST(array1, array2, tails, type)array1：你「之前」的那一欄數據（例如A2:A11）array2：你「之後」的那一欄數據（例如B2:B11）tails：1（單尾）或 2（雙尾）。我們通常用 2。type：1（相依樣本）、2（獨立樣本, 假設變異數相等）、3（獨立樣本, 假設變異數不相等）。
所以，你只要在隨便一個格子輸入：
=T.TEST(A2:A11, B2:B11, 2, 1)
- 它會直接回傳 p 值（0.00013）。
- 缺點： 它只給你 p 值，t 值和自由度要自己算。
方法 B：資料分析工具箱（推薦）
- 到「檔案」->「選項」->「增益集」->「分析工具箱」打勾。
- 到「資料」標籤頁，最右邊會出現「資料分析」。
- 點下去，選擇「t 檢定：成對二樣本平均數」（Paired Two Sample for Means）。
- 輸入「變數 1 範圍」（之前）、「變數 2 範圍」（之後）。
- 「假設平均數差異」輸入 0。
- 「Alpha」輸入 0.05。
- 按「確定」。
- 它會吐出一個超級完整的報表，包含 t 值、P(T<=t) 雙尾（p 值）、t 臨界值（雙尾）...所有你需要的一切！
情境二：如果你用 SPSS
這是統計軟體的王者之一。
- 「分析」->「比較平均數法」->「成對樣本 T 檢定」
- 它會跳出一個視窗，左邊是你的變數。
- 把「Before」和「After」兩個變數，「成對」選到右邊的「成對變數」框框裡（變數 1, 變數 2）。
- 按「確定」。
- （在「選項」裡可以順便要求 95% CI）
- （在 SPSS 27+ 版本，可以順便要求「效果量」）
- 它會吐出三張表，最後一張「成對樣本檢定」就是你要的，t、df、p (雙側) 一目了然。
情境三：如果你用 R（免費且強大）
R 是統計的未來。
假設你的數據在一個 data frame 叫 my_data，有 before 和 after 兩欄。
你只需要一行程式碼：
t.test(my_data$after, my_data$before, paired = TRUE)
（注意：paired = TRUE 是關鍵！）
它會回傳所有資訊：
Paired t-test
data: my_data$after and my_data$before
t = -6.71, df = 9, p-value = 0.00013
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-8.0218 -3.9782
sample estimates:
mean of the differences
-6
（*註：因為我是用 After - Before，所以 t 值和 CI 是負的，不影響結論*）
結論：你已經是「相依 t 檢定」專家了
讓我們回顧一下這趟超過 7000 字的旅程。
- 國小版： 我們用「長高藥水」理解到，相依 t 檢定是看「同一群人」的「改變」是真實還是運氣。
- 核心概念： 它的強大之處在於「消除個體差異」，只看「自己跟自己比」。它比獨立 t 檢定更靈敏。
- 適用時機： 「前測-後測」、「配對樣本」、「重複測量」是它的主場。
- 運作原理： 它透過計算「差異分數 $D$」，把「雙樣本問題」降維成「**單樣本 t 檢定**」（檢驗 $\mu_D$ 是否為 0）。
- t 值公式： 它的本質是 $t = \frac{\text{訊號 (平均差異)}}{\text{雜訊 (標準誤)}}$。
- 實戰演練： 我們手算了「焦慮冥想」的例子，算出 $t(9) = 6.71$，p < .001，得到「顯著有效」的結論。
- 進階細節： 我們學會了檢查最重要的「差異 $D$ 呈常態」假設，以及如果不常態，就改用「Wilcoxon」檢定。
- 完整報告： 我們學會了 p 值是不夠的，必須加報「效果量 $d_z$」（看效果多強）和「**信賴區間 CI**」（看真實範圍）。
- 軟體操作： 我們學會了如何在 Excel, SPSS, R 裡面一鍵搞定。
你可能花了 30 分鐘甚至 1 小時才讀完這篇。但相信我，你對這個檢定的理解，已經超越了許多研究生。
統計不是背公式，它是「思考的邏輯」。
相依樣本 t 檢定，就是一種「在雜訊中找出真實改變」的優美邏輯。
希望這篇文章對你有幫助！
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